カオス理論の紹介

2012年入学の世外奇人495です。今回はカオス理論について紹介します。
コンピュータに依存しない理論ではあるものの、コンピュータによって初めて重要性が認識された分野ではあります。
とは言っても、新しく書き下ろすのも大変なので自分のブログから引用します(一部改変、オリジナル原稿は http://ronsetsushu.g.hatena.ne.jp/seigaikijin495/)。
また、エクセルによって作成したカオス軌道の画像を添付します。

テント写像でカオス理論の簡単なイメージをお見せしよう。カオスとフラクタルはしばしばセットで語られるが、その繋がりがここで得られる。
テント写像とは
T(x)={2x (x<1/2), 2(1-x) (x>1/2)}
のことであるが、この写像でのカオスとフラクタルの関係が簡単に分かることを説明する。Tをx in [0,1]に何度も作用させたときの様子が知りたいのだが、ここで具体的な数値のxを追わず、1/2以下のxに対応するL、1/2以上に対応するRに簡略化する。すると、区間[0,1]はLとRに分割される訳であるが、LもT(x)の位置によってLL,LRというように分割される。Rも同様。LLもT^2(x)によりLLL、LLRと別れる。こうすると、区間全体も、内側のLも、更に内側のLLも同じ構造を持つのが分かるだろう。これがフラクタルである。また、十分に長いLR列を考えれば、フラクタル性よりLR列は自由に伸ばして行けるので、区間のどんな点であれ任意に近い点にTをn回作用させると一定距離1/2以上離れる点が存在することが分かるだろう(Tを作用させ続けると末尾の区間へ移っていく)。これが初期値鋭敏性である(例えば末尾LLLとRRR等)。カオス軌道とは有界で漸近的に周期的でない初期値鋭敏な列のことであるが、明らかにこの場合、Tは[0,1]内の点をずっと[0,1]内に入れておくし、初期値鋭敏であるし、無理数から始めれば非周期的である。ここで、初期値鋭敏である根拠はフラクタル性そのものであった。よって、ここまでの議論でカオスとフラクタルの関係が分かったと言えよう。

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